Lecture 1

状态空间描述

$\mathbf{\dot{x}}(t)=\mathbf{f}(\mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t), t)$

其中：

a history of control inputs $u_{t}$ during interval $[t_0, t_f]$ is called a control history
a history of state values $x_{t}$ during interval $[t_0, t_f]$ is called a state trajectory

最优控制例子

问题描述

双重积分器：控制一维空间质点位置，控制量为加速度。控制量和状态变量有如下二次积分的关系： $\ddot{s}(t)=a(t)$

控制目标：使其状态从 $\mathbf{x}_0=[5,0]\rightarrow u_s=[0, 0]$ 。状态空间表达式（状态转移模型）为： $\begin{bmatrix} \dot s \\ \dot v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&1\\0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s\\v \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \end{bmatrix}$

比例控制器

线性负反馈：

$a=-k_p(s-s_{u_s})-k_d(v-v_{u_s})$

解微分方程，得到时域响应，即可分析得知当 $k_p,k_d \gt 0$ 时可收敛到设定值。

最优控制器

这里的例子中的最优控制比较简单，直接建立最优化模型，开环控制，求解每个时间步的 $u$ 。 $min\int_0^{t_f}{\lVert\mathbf{x}(t)\rVert_2^2 +\lVert\mathbf{u}(t)\rVert_2^2}$

$\begin{array}{rrl} s.t.&\mathbf{\dot{x}}(t)=&A\mathbf{x}(t)+B\mathbf{u}(t)\\ &\mathbf{\dot{x}}(0)=&\mathbf{x}_0\\ &\mathbf{\dot{x}}(t_f)=&\mathbf{x}_f \end{array}$

优化目标：最小化残差和控制量
约束条件：
- 状态转移
- 边界条件

课程作业代码中：

cost = 0
constraints = [x[0]==x_0, x[t_f]=x_f]

for t in [t0 .. tf], do:
    cost = cost + norm(x[t] - x_f)
    x[t+1] == dynamics(x[t], u[t]) -add-to-> constraint

solver.solve()

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